Triangles semblables et isométrie.

1) Triangles isométriques Définition Exemple Propriétés Exemples

2) Triangles semblables ou de même forme. Définition Théorème Démonstration Remarques Propriété Remarque Conditions

1) Triangle isométrique

Définition :

Deux triangles sont isométriques lorsque l'un est l'image de l'autre par une isométrie (translation, rotation, symétrie ou plusieurs de ces transformations).

Exemple :

S_(BC) : A &emdash;> A' ; B&emdash;> B ; C&emdash;>C

AB=A'B
BC=BC
AC=A'C

ABC est l'image de A'BC par la symétrie centrale d'axe (BC)
donc ils sont isométriques.

Propriété 1 : si 2 triangles ont leurs 3 côtés respectivement égaux, alors ces 2 triangles sont isométriques. Propriété 2 : si 2 triangles ont un angle égal, compris entre 2 cotés respectivement égaux alors ils sont isométriques. Propriété 3 : si 2 triangles ont un coté égal respectivement et 2 angles respectivement égaux, alors ces 2 triangles sont isométriques.

Exemple 1 :

ABCD un parallélogramme
Que peut-on dire des triangles ABC et ADC?

ABCD est un parallélogramme donc :
AB=AD
BC=DC
AC=AC
donc ABC et ADC sont isométriques.

ou

Soit O, le milieu de ABCD.
S_O: A&emdash;>C ; B&emdash;>D et C&emdash;>A
Donc l'image de ABC par la S_O: ABC &emdash;> ADC
Ils sont donc isométriques.

ou

ABCD est un parallélogramme
AB=DC
BC=AD
l'angle ABC = l'angle ADC.
ADC et ABC sont l'angle respectivement égal compris entre 2 cotés respectivement égaux
donc ABC et ADC sont isométriques.

Exemple 2 :

ABC est isocèle en A tel que AB=AC=2BC
1) Démontrer que AJB et AIC sont isométriques
2) Démontrer que JBC et IDC sont isométriques

BAC isocèle en A
et J milieu de [AC]
et I milieu de [AB]
donc AI=AJ
de plus AJB et AIC ont l'angle A en commun.
AJB et AIC ont l'angle A compris entre 2 cotés respectivement égaux
donc ils sont isométriques

Exemple 3 :

Montrer que BDC et AGB sont isométriques.

2) Triangles semblables ou de même forme.

Définition :

Deux triangle sont semblables ou de même forme lorsque leurs 3 angles sont respectivement égaux 2 à 2.

Théorème :

Si 2 triangles ont deux angles respectivement égaux alors, ils sont semblables.

Démonstration :

Soit ABC et EFG tel que:
L'angle A = l'angle E et l'angle F = 75°
L'angle C = 180° - (l'angle A + l'angle B) = 180 - (l'angle E + l'angle F) = l'angle G.
Donc ABC et EFG ont les trois angles respectivement égaux. Ils sont donc semblables.

Remarques :

Si ABC et A'B'C' sont semblables
et si ABC et A"B"C" sont semblables
alors A'B'C' et A"B"C" sont semblables.

Tout les triangles isométriques sont semblables mais pas tout les triangles semblables sont isométriques.

Propriété :

"2 triangles sont semblables" signifie qu'ils ont leurs coté respectivement proportionnels.

Remarque :

Les segments des droites remarquables de 2 triangles semblables sont aussi proportionnels et de même rapport que les cotés. Les aires aussi sont proportionnelles.

Pour que 2 triangles soit semblables, il suffit qu'ils aient : - 3 cotes deux à deux proportionnels - 2 angles respectivement égaux - 1 angle compris entre 2 cotes respectivement proportionnels.